用高中几何方法，让百年数学难题逼近理论极限

了勒贝格积分，拓宽了积分学的研究范围。

在1914时，他给好朋友Julius Pál（也是数学家）写信时提了一个问题：

在一个平面上，找一个最小区域，让它可以覆盖直径不超过1个单位的面积？

直径不超过1个单位的任意形状，就是一个封闭曲线的边缘上，最远两点的距离不超过1个单位。

这个问题最难的部分是：

无法穷举所有直径为1的形状到底长什么样子。

直径为1的形状千千万，到底用哪种万能补丁才能全部覆盖它们呢？
 

有覆盖“通用”方法

但是这个问题并不难上手，只要你有高中数学基础，就可以试一下。

接下来，让我们一起看看数学家们目前解决这个问题的方法。

从直径为1的需要覆盖的区域R入手。

虽然不知道R长什么样子，能够确定的一点是：它绝对不会超过1个单位的宽度。

那么就先假设它有2个点——A和B，距离为1个单位。
 

到A和B的距离不能超过1，这一条件不仅仅适用于点C，还适用于区域R中的每个点。

所以R中的每一个点都必须位于这两个圆的交集区域中。

换句话说，这个区域可以覆盖直径为1的所有可能的R集，是一个万有覆盖区域。

样万有覆盖面积从原来的(2π/3)-(√3/2)≈1.228，减少到(π/2)-1/2≈1.071

从一个基本的万有覆盖开始，可以通过去掉一个无关紧要的部分，来缩小它的面积。

这就是数学家们得到最小万有覆盖的方法。

优化方法：Pál六边形

通过更先进的技术，我们还能找到一些其他的简单形状。

Pál利用定宽曲线的特性表明：

即使直径为1的一组曲线，可能会从直径1的圆中“伸”出来，它也总是可以通过移动或旋转，以适应围成这个圆的六边形。

 

（编辑：宣城站长网）

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